viernes, 19 de julio de 2013

Probabilidad para eventos, Probabilidad condicional y Eventos independientes


Probabilidad de un suceso y eventos complementarios

Fenómenos  aleatorios y deterministas
Experimentos deterministas y aleatorios.

Experimento o fenómeno determinista es aquel cuyo resultado se puede predecir, como consecuencia se tiene siempre el mismo resultado, ejemplos:
a)  Al lanzar un objeto hacia arriba, seguramente caerá.
b)  Al día martes le antecede el día lunes.
c)  Si se mezclan dos átomos de hidrógeno con uno de oxígeno, se forma una molécula de agua.

Experimentos o fenómenos aleatorios.
Son aquellos que no se pueden predecir o asegurar. Estos fenómenos dan lugar a varios resultados sin que se pueda asegurar cuál de ello se presentará. Ejemplos:
a)  El lanzamiento de un dado.
b)  Los sorteos de la Lotería Nacional.
c)  El resultado de un partido de futbol.
d)  Elegir al azar una carta de una baraja americana.
En  el  estudio  de  la  Probabilidad,  se  dice  que  cualquier  observación  o  medida  de  un  fenómeno  aleatorio es  un experimento, los efectos posibles del experimento se llaman resultados, y el conjunto de todos los posibles resultados se conoce como especio muestral, el cual se simboliza con la letra S.

El espacio muestral es el homólogo al Universo en la teoría de conjuntos. Ejemplos:
a)  Experimento: Lanzamiento de dos monedas ( $1 y $5)
S = { aa, ss, as, sa }
Donde:
a : cae águila.
s : cae sello.

b)  Acontecimiento aleatorio: Resultados de dos juegos de futbol de la selección mexicana.
S = {gg, gp, pg, ge, eg, pe, ep, pp, ee }
Donde:
g: la selección gana.
p : la selección pierde.
e : la selección empata

c)  Situación aleatoria: Sexo de tres bebés al nacer.
S = { f f f, f f m, f m f, m f f, f m m, m f m, m mf, m m m }
Donde:
f : nace una niña.
m : nace un niño.

Algunos ejemplos de fenómenos deterministas son:

a) Si vas al súper a comprar la despensa de la semana y te dicen que gastaste un total de $ 1, 200  y  pagas  con  tres  billetes  de  quinientos  pesos,  sabes  de  antemano  que  te  tienen  que regresar feria.

b) Si colocamos al fuego un recipiente con leche podemos asegurar que después de un tiempo la leche hervirá.

Ejercicios:
 Escribe sobre la línea si el fenómeno es aleatorio o determinista:
a) En un partido de futbol uno de los equipos ganará (que no haya empate) __________
b) Al lanzar un dado caerá el número cuatro ____________________
c) Si se lanza un dado caerá un número par ______________
d) Extraer una baraja de un mazo de cartas y que sea 10 __________________________
e) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° _______________________
Si arrojamos un dado al aire tenemos la posibilidad de que caiga: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ahora de una manera semejante a lo anterior, contesta sobre la línea:
Si arrojamos una moneda al aire tendremos la posibilidad de que caiga:



En una pelea de box los posibles resultados que resultan (que no haya empate) son:




Espacio  muestral
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral
El espacio muestral se representa por la letra S

EVENTO Ó SUCESO.
Es un conjunto de resultados, es decir, es un subconjunto del espacio muestral. Al  sacar  al   azar  una  moneda  de  una  bolsa  negra  que contiene  cinco  monedas  de  dos  pesos  y  siete  monedas  de diez  pesos.  ¿De  qué  tamaño  es  el  espacio  muestral?  y¿Cuáles son sus elementos?
Solución: El  tamaño  del  espacio  muestral  es  12;  y  sus elementos son: ($2, $2, $2,  $2, $2, $10, $10, $10, $10, $10, $10, $10)

Ejemplos
Se tiran un par de dados y se anotan los números que salen




Eventos especiales.

Evento  seguro:  Es  aquel  evento  que  contiene  todos  los  posibles  resultados  del  experimento  aleatorio;  es  decir coincide con el espacio muestral.

Evento imposible o nulo: Es aquel que carece de resultados, es el equivalente al conjunto vacío.
El complemento de un evento: Es aquel evento que contiene todos los resultados que no tiene el evento  del cual es complemento.

Eventos  mutuamente  excluyentes:  Dos  eventos  son  mutuamente  excluyentes  si  no  pueden  ocurrir  en  forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía.

Ejemplo:
Experimento: Lanzamiento de un dado.
Un evento seguro es A: Caiga número par o impar.
Un evento imposible para este experimento es B: Caiga un número negativo.
Un evento C: Caiga número menor a 3, tiene como complemento Cc: Caiga número mayor o igual a 3.
Dos eventos mutuamente excluyentes son: P: Caiga número primo y Q: Caiga número que tenga más divisores.

Cálculo de probabilidades.
La  probabilidad  de  un  evento,  siendo  ésta  una  medida  numérica  de  la  posibilidad  de  ocurrencia  del  evento,  se determina de dos maneras: empíricamente, es decir,  de forma experimental o bien de manera teórica. Veamos esto con los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Se lanza al aire una moneda, determine la probabilidad de que caiga águila. No existe una razón aparente para  que  una  de  las  caras  de  la  moneda  caiga  con  mayor  frecuencia  que  la  otra  (  a  la  larga  ),  de  modo  que normalmente supondremos que águila y sello son igualmente probables. Esto se enfatiza diciendo que la  moneda es “legal”.
En este caso el espacio muestral es S = {águila, sello} y el evento cuya probabilidad buscamos es A =  {águila}.
Como uno de los dos resultados es águila, la probabilidad es el cociente de 1 y 2.

De manera simbólica podemos expresar esto como:

Ejemplo 2. Se lanza al aire una taza de plástico, determine la probabilidad de que caiga hacia arriba.
Intuitivamente, es probable que una taza caiga de lado mucho más veces que hacia arriba o hacia abajo. Pero no queda claro exactamente qué tan frecuentemente. Para tener una idea, se realiza el experimento de lanzar la taza 80 veces, cayó de lado 70 veces, boca arriba 8 veces y boca abajo 2 veces. Por la frecuencia de veces a favor del evento de interés, concluimos que:

Analizando el ejemplo 1, que implica el lanzamiento de una moneda no defectuosa, el número de resultados posibles era  evidentemente  dos,  ambos  igualmente  probables,  y  uno  de  los  resultados  era  águila.  No  se  requirió  un experimento real. La probabilidad deseada se obtuvo empíricamente.

Las  probabilidades  teóricas  se  aplican  a  toda  clase de  juegos  de  azar,  lanzamiento  de  dados,  juegos  de cartas, ruletas, loterías, entre otros.

Pierre Simon de Laplace, en su famoso trabajo llamado “Teoría Analítica de las Probabilidades”, publicado en 1812, dio una fórmula que se aplica a cualquiera de tales probabilidades teóricas, siempre y cuando el espacio muestral sea finito  y  equiprobable;  es  decir  que  contenga  una  cantidad  determinada  de  resultados  todos  y  cada  uno  de  ellos igualmente posibles de ocurrir que cualquiera de los otros.
Fórmula de la probabilidad teórica.

Si  todos  los  resultados  de  un  espacio  muestral  S  son  igualmente  probables,  y  A  es  un  evento  en  ese  espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento A está dada por:

Fórmula de la probabilidad empírica.
Si A es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento A está dada por:

Ejemplo 1. Se lanzan tres monedas. Determine la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los siguientes eventos:
a) Caigan tres sellos.
b) Caigan por lo menos dos águilas.
c) Caigan en “disparejo”
Se inicia por deducir el espacio muestral:
S = { aaa, aas, asa, saa, ass, sas, ssa, sss }

Como cada uno de los ocho resultados es igualmente posible de ocurrir que los otros siete, entonces el espacio muestral es equiprobable.
Evento A: caigan tres sellos. Se puede observar en el espacio muestral sólo hay un resultado que favorece (sss), por

Ahora se define el evento B: Caigan por lo menos dos águilas.
Por lo menos dos, implica que caigan    dos o tres águilas, observando el espacio muestral, los cuatro primeros resultados son favorables al evento, por lo tanto

Finalmente, sea C: Caigan en “disparejo”, es decir  que no caigan todas las monedas con igual cara, se  ve que son seis los resultados favorables en el total del espacio muestral, por lo cual

Ejemplo 2. Considera un juego que consiste en el lanzamiento de dos dados, se gana si la suma de los puntos es 7,
¿Cuál es la probabilidad de ganar?
Sea G: La suma es 7.

Anteriormente se dedujo que existen 36 posibles resultados en el lanzamiento de dos dados, cada uno igualmente posible de presentarse, es decir, es un espacio muestral equiprobable, por tal motivo se puede aplicarla regla de Laplace.

De los 36 resultados, podemos darnos cuenta al observar el espacio muestral que en seis resultados (3,4), (4,3), (5,2), (2,5), (6, 1) (1,6) la suma es siete, por lo tanto:

Ejemplo 3. Al almacén de una tienda comercial llega un pedido de 30 Laptops. El inspector de calidad ignora que 5 presentan defectos. La regla de control exige que se elija al azar un artículo y si cumple con la norma de calidad, se acepta todo el pedido; en caso contrario se rechaza.

a)  Calcular la probabilidad de que se acepten todas l aLaptops.
Sea el evento K: Se acepten todas las Laptop.

El espacio muestra consta de las 12 laptop, como se elige al azar una, entonces cualquiera de las doce tiene la misma probabilidad de ser elegida, por lo tanto el espacio muestral es equiprobable y se puede aplicarla regla de Laplace.

b)  ¿Qué tan probable es que se rechacen todos los artículos?
Sea Kc: Se rechacen todas las laptop. Dado que se tienen 5 artículos defectuosos.


Propiedades de la probabilidad.


Regla general de la adición.
Con base a los resultados de la cardinalidad de la unión de conjuntos, se puede deducir la regla general para la suma de probabilidades.
Si A y b son dos eventos cualesquiera, entonces:
P(A B ) = P( A ) + P( B ) – P ( A ∩B )
Ejemplo 1. A una conferencia asisten 12 alumnos de  primer semestre, 20 de tercero y 8 de quinto semestre. Si se elige al azar a un estudiante, determina la probabilidad de que sea de primer o tercer semestre.
El  espacio  muestral  consta  de  los  40  alumnos,  como  la  elección  es  aleatoria,  cada  uno  de  ellos  tiene  igual probabilidad de ser elegido, por lo que es un espacio muestral equiprobable.
Los eventos A y B se definen:
A: Sea alumno de primer semestre.
B: Sea alumno de tercer semestre.
Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, la intersección es vacía, por lo tanto:
P ( A U B ) = 80 .040


Para  obtener  la  probabilidad  de  un  evento  A,  como  resultado  de  un  experimento  puede obtenerse con la fórmula





Donde:
A = Evento o suceso
n(A)= Número de resultados favorables
S = Número total de eventos (espacio muestral)

La  probabilidad  siempre  es  un  número  que  se  encuentra  entre  cero  y  uno 
además:
a) Si el evento no puede ocurrir su probabilidad es cero.
b) Si el evento ocurre siempre, entonces su probabilidad es uno.
c)  Para  cualquier  evento  A,  la  probabilidad  del  complemento  es
P(A ) = 1- P(A)   o    P(A ) = 1- P(A)

Si  lanzamos  un  dado  al  aire  una  sola  vez,  ¿cuál  es  la probabilidad de que caiga el número 2?
Solución:
A = {que caiga el número 2}
El evento favorable es n(A) = 1
El espacio muestral del experimento es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
La probabilidad del evento es 

Si lanzamos dos monedas al aire al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de caigan águila en las dos?
Solución:
A = {que caiga águila las dos}
El evento favorable es n(A) = 1
El espacio muestral del experimento es S = {(A, A), (S, S), (A, S), (S, A) } el espacio muestral es de tamaño 4.
La probabilidad del evento es


Ejercicios
1)  Una  urna  tiene  diez  canicas  verdes,  seis  rojas  y  cuatro  azules.  Si  se  extrae  una  canica aleatoriamente, determina la probabilidad de que sea azul.
2) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado al aire, la moneda caiga águila y el dado sea un número par?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados al aire la suma de sus puntos sea menor que seis?
4)  Calcula  probabilidad  que  al  extraer  un  tamal  de  una  olla  sea  de  carne,  sabiendo  que  ella contiene 3 tamales de carne, 2 de elote y 5 de piña.
5)  En  un  grupo  de  quinto  semestre  de  CECyTES  16  alumnos  reprobaron  y  28  aprobaron  el examen del primer parcial de estadística. Si al extraer aleatoriamente un alumno de este grupo.
¿Cuál es la probabilidad de que sea uno que aprobó el primer parcial?
6)  En  el  dominó  que  se  te  muestra  a  continuación.  ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  extraer aleatoriamente una ficha que sea mula


Probabilidad Condicional
Lee con atención y contesta brevemente las siguientes preguntas
.
En una caja de cartón están envueltos 5 regalos que se van a repartir entre los cinco grupos del sexto semestre para apoyarlos con los gastos de su graduación.

Los  regalos  se  seleccionan  en  forma  aleatoria,  uno  a  la  vez.  El    regalo seleccionado no puede reintegrarse o devolverse a la caja. Los regalos son: $5,000 en efectivo, un vale por la renta del local, un vale por el costo de las fotos y videos, y un vale por la renta de la toga, el birrete y la estola. Se anuncia que un regalo contiene un cheque por $ 40,000.

1.  Supongamos  que  un  representante  de  un  grupo  extrae  el  regalo  de  los  $5000.00,  la probabilidad que el siguiente regalo seleccionado sea el cheque por $40,000 ¿aumenta o disminuye?
Respuesta:______________ porque_______________________________
2.  Si  la  segunda  extracción  es  el  vale  por  la  renta  de  la  toga,  el  birrete  y  la  estola,  la probabilidad que el siguiente regalo seleccionado sea el cheque por $40,000 ¿aumenta o disminuye?
Respuesta:______________ porque_______________________________
3.  El siguiente regalo extraído es el vale por el costo de las fotos y videos, la probabilidad que  el  siguiente  regalo  seleccionado  sea  el  cheque  por  $40,000   ¿aumenta  o disminuye?
Respuesta:______________ porque_______________________________
4.  ¿La probabilidad de extraer cada uno de los regalos en cada extracción sucesiva puede considerarse como probabilidad condicional?
Respuesta:______________ porque______________________________
Dos eventos, digamos A y B, son dependientes si la ocurrencia de uno  tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. la probabilidad de obtener A dado que ha ocurrido B es


NOTA: La barra vertical se lee: “dado” y  la letra de la derecha es el evento que se sabe ha ocurrido.
Una aplicación muy importante de esta regla es el cálculo de la probabilidad para la intersección de dos eventos.





EJEMPLOS
1.  Se tira un par de dados. Hallar la probabilidad que haya caído un dos en un dado (evento A), si la suma en ambos es seis (evento B). Es decir, hallar P(A│B).
Evento A: Obtener al menos un 2 en uno de los dados.
Evento B: La suma de ambos dados sea 6.
El  espacio  muestral  S  está  determinado  por  (6)(6)  =  36  como  se observa abajo.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

Hay 5 casos posibles para que la suma sea 6 y dos casos de los 5 donde hay un 2 y la suma es
6, es decir



2.  Supongamos que se extrae una muestra aleatoria de una bolsa de frutas. La bolsa contiene cuatro manzanas, seis naranjas,  y cinco duraznos. Si se seleccionan dos frutas, una a la vez, sin
reemplazo,  ¿cuál  es  la  probabilidad  de  que  se  obtenga  una naranja y una manzana en ese orden?
Como la primera fruta que se extrae (suponemos es la naranja) no se reintegra a la bolsa, la probabilidad que la segunda fruta sea una manzana se ve afectada porque quedan menos frutas en la bolsa, entonces obtener naranja y manzana en ese orden son eventos dependientes.
Evento C: obtener naranja en la primera extracción
Evento D: obtener manzana en la segunda extracción



EJERCICIOS
1)  Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que en un dado haya caído 3 si la suma de ambos fue 7.

2)  De un mazo ordinario de barajas (de 52 cartas) se extrae una carta, si se sabe que fue de diamante, ¿cuál es la probabilidad de haya sido un rey?

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si P (A/B) = P (A) y son dependientes de otro modo. Por lo tanto dos eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no tiene efecto alguno sobre la ocurrencia del otro, lo que quiere decir que P (A) no depende de la P (B) y/o viceversa.
Para dos sucesos A y B independientes, tales que P (A) > 0 y P (B) > 0, se tiene:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) relación que obtuvimos así:
Como:
P (B / A) = P (B) ya que la ocurrencia del suceso A no afecta la probabilidad de que sucede B.
Análogamente:
P (A / B) = P (A) por ser sucesos independientes
Tenemos:
Considerando la relación de la probabilidad condicional:
P (B / A) = P (A ∩ B) / P (A)
Despejamos:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B / A)
Entonces como P (B / A) = P (B) obtenemos:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Esta  es  la  ley  multiplicativa  de  los  sucesos  compuestos  y  corresponde  a  la  probabilidad axiomática.


Determine las probabilidades independientes de los siguientes ejercicios, aplicando la formula correspondiente:
1.-  Supongamos que vamos a extraer al azar dos cartas, una a la vez,  regresando al mazo la primera  extraída  (con  reemplazo),  de  una  baraja  ordinaria.  ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que ambas cartas sean ases?
Nota: Siendo eventos independientes porque si extraemos un as y luego lo devolvemos al mazo de  cartas  eso  no  influye  en  la  próxima  extracción  que  también  puede  ser  otro  as.  Toma  en cuenta que una baraja ordinaria tiene 52 cartas, de las cuales 4 de ellas son ases.
2.- Si se lanzan dos monedas una sola vez, ¿cuál es la probabilidad de que ambas caigan cara hacia arriba?
Nota: Son eventos independientes porque son 2 monedas.
3.-  Supongamos  que  lanzamos  una  sola  vez  un  par  de  dados  no  cargados  (no  alteradoso arreglados),  ¿cuál  es  la  probabilidad  de  obtener  un  dos  en  el  primer  dado  y  un  cuatro  en  el segundo?

Selecciones al azar con o sin reemplazo
La selección al azar con o sin reemplazo depende de los experimentos a realizar y significa que se puede ejecutar un evento donde regresemos al estado original o  de  inicio  el  mismo,  en  este  caso  los  elementos  utilizados  se  reintegran  para formar  el  todo  nuevamente.  Y  lo  contrario,  sin  reemplazo  no  se  reintegra  el elemento utilizado al todo, viéndose este disminuido en su total original.
Explicado  lo  anterior,  una  selección  al  azar  con  reemplazo  es  aquella  que  al  realizar  el experimento  podemos  tener  la  opción  por  ejemplo  de  regresar  una  canica  extraída  de  una bolsa, regresar una carta seleccionada de una baraja ordinaria o volver a tirar el mismo dado lanzado  la  primera  vez.  Y  en  una  selección  al  azar  sin  reemplazo,  se  está  modificando  o afectando el estado original del experimento, es decir, si saco una canica de una bolsa y no la regreso  a  la  misma,  ya  no  se  tienen  el  mismo  número  de  canicas  con  las  que  iniciaste originalmente, por lo que el segundo evento se ve afectado por el primero.

EJEMPLOS SIN REEMPLAZO
1.-  Vamos a suponer  que se extraerán al azar dos cartas, una a la vez, de una baraja ordinaria de 52 piezas.
¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que  en  cada  evento  ambas cartas sean ases?
Solución: 4/52 y 3/51
La solución anterior se obtiene de realizar el primer evento donde se extrae la primera carta de las 52 piezas y al extraer esta carta el total de ellas se ve disminuido a 51 cartas, lo que afecta al  segundo  evento,  por  lo  que  su  probabilidad  depende  del  segundo  evento.  El  número 4 representa el total de cartas “Ases” que tiene un paquete normal de 52 cartas.
2.-  ¿Qué  sucede con la probabilidad al extraer una segunda carta, si  la primera  extraída  no se regresa al mazo?
Solución: Disminuye
La solución anterior se obtiene al tener que dividir 4/52 = 0.076 y 3/51 = 0.058, por lo que se puede observar que es mayor la probabilidad del primer evento, debido a la disminución del total de cartas al no regresar la primera.

EJEMPLOS CON REEMPLAZO
Tomando en cuenta el ejercicio anterior:
1.-  Si  al  extraer  una  tercer  carta,  ¿Qué  pasa  con  la  probabilidad  del  tercer  evento,  si  se regresan las primeras 2 cartas sustraídas, aumenta, disminuye o se mantiene?
Solución: Se mantiene
Se  puede  observar  que  la  probabilidad  se  mantiene  debido  a  lo  siguiente:  al  regresar  las 2 primeras  cartas  extraídas,  el  total  de  cartas  es 52,  por  lo tanto  al  calcular  la  probabilidad  de sacar la tercera carta es 1/52 = 0.019. “Siempre que reemplacemos las cartas extraídas para cada evento se tendrán 52 piezas en total, por lo tanto la probabilidad siempre se determinará sobre el mismo número de cartas. Viéndolo de otra forma:
Primer evento es 1/52 = 0.019
Segundo evento es 1/52 = 0.019 (se regresó la primera carta extraída)
Tercer evento es 1/52 = 0.019 (se regresó la primera y segunda cartas extraídas)
2.-  Entonces: ¿Qué sucede con las probabilidades de aquellos eventos donde el total de datos sigue siendo el mismo para cada suceso?
Solución: se mantiene o es la misma para cada probabilidad por evento.

Fuentes:
Antología de Matemáticas V para el sistema abierto, DGETA, SEMS SEP
Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística  cecytes
ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta edición serie Schaum
Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen

Introducción a la probabilidad y estadística 13a. EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver,  Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

Técnicas de Conteo, principios de la suma y multiplicación, Permutaciones y Combinaciones


TÉCNICAS  DE  CONTEO: Para  determinar  sin  describir  directamente  el número de resultados posibles de un experimento en particular o el número de elementos de un conjunto en especial, se requieren algunos principios básicos que faciliten el proceso, destacando:
El  principio  de  la  suma  y  la  multiplicación,  el  diagrama  de  árbol,  la  notación  factorial,  las permutaciones, las combinaciones.

PRINCIPIO DE LA SUMA:
Supongamos que un suceso E1 puede ocurrir de “m” maneras y el segundo suceso E2 puede  ocurrir  de  “n”  maneras,  y  supongamos  que  ambos  sucesos  no  pueden  ocurrir simultáneamente. Entonces E1  o E2  puede ocurrir de (m + n) maneras.
Este principio se puede extender a tres o más sucesos.

Recordando  el  lema  de  teoría  de  conjuntos  que  dice.  Supónganos  que  A  y  B  son  conjuntos distintos. Entonces  n(A B) = n(A) + n(B), este también es principio de las suma.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN:
Supongamos que un suceso E1 puede ocurrir de “m” maneras y el segundo suceso E2 puede ocurrir de “n” maneras, (sucesos independientes). Entonces las combinaciones de E1  y de E2  pueden ocurrir de (m) (n) maneras.

Este principio se puede extender a tres o más sucesos.

Recordando el teorema de teoría de conjuntos. Supónganos que A y B son conjuntos  finitos.
Entonces  n(A B) = n(A) n(B), este también es principio de la multiplicación.

EJEMPLO 1
En la Universidad de Sonora te  ofrecen tres cursos diferentes de matemáticas, cuatro diferentes de física y dos diferentes de administración.

Determina:
a) ¿Cuántas opciones puedes escoger uno de los cursos?
b) ¿De cuántas maneras distintas puedes escoger un curso de cada materia?
Solución:
a) n = 3 + 4 + 2 = 9 (son 9 maneras)
b) n = (3)(4)(2) = 24 (son 24 maneras)

Ejercicios
1. La compañía aérea Mexicana tiene tres  vuelos diarios entre México y Quintana Roo, y la compañía Aeroméxico tiene dos vuelos diarios entre México y Quintana Roo. Calcula:
a) ¿Cuántas formas distintas de volar de México a Quintana Roo?
b)  ¿Cuántas  formas  distintas  de  volar  con  Mexicana  de  México  a  Quintana  Roo  y  con Aeroméxico de México a Quintana Roo?
c) ¿Cuántas formas distintas de volar de México a Quintana Roo y volver?

2.  En  la  estantería  de  una  librería  hay  seis  libros  de  matemáticas  diferentes,  tres  de  física diferentes, cuatro de química y cinco de informática. Halla el número de posibilidades que tiene un estudiante de elegir:
a) Uno de los libros
b) Uno de cada tipo


3. Un restaurante tiene un menú con tres aperitivos, cuatro platillos diferentes y dos postres.
Hallar el número de formas diferentes que tiene un cliente para pedir un aperitivo y un postre.

4. Un grupo de quinto semestre que tiene siete alumnos y cinco alumnas donde se formará un comité para la graduación. Halla las formas distintas de obtener:
a) Un delegado
b) Dos delegados (un hombre y una mujer)
c) Un Presidente y un Vicepresidente

5. Cecy sale de viaje por quince días, pero en el trayecto extravía su maleta. Ella no cuenta con el  dinero  suficiente  para  comprarse  quince  cambios  de  ropa  diferentes;  por  lo  que  decide adquirir lo siguiente. Cinco blusas, tres pantalones dos tipos de calzados.
¿Cuántos cambios distintos puede formar con esa compra?

6.  En una reunión se encuentran diez personas. Si cada una de ellas saluda de mano a  los demás, ¿cuántos saludos hubo en total?


7. ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar tres trofeos diferentes en un estante de tres niveles?

Permutación y combinación

Son  distintas  formas  en  que  se  pueden  ordenar  los  n elementos de un conjunto, donde el orden de los elementos sí importa.
Existen dos tipos de permutaciones:

1) Permutación lineal
Son los acomodos de n objetos en fila
2) Permutación circular.
Son los acomodos de n objetos en torno a un círculo.

El número de permutaciones simples de n elementos distintos se representa con la notación


El número de permutaciones lineales de n elementos diferentes tomados en un grupo de r en r se obtiene con la fórmula  

La formula de permutaciones de n elementos, no todos diferentes entre si

La fórmula de permutación circular es PC = (n-1)!

COMBINACIONES:
Son distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto, donde el orden de los elementos no importa.
El  número  de  combinaciones  de  n  elementos  tomados  de  r  en  r  se  expresa  ncr,  otras notaciones que se usan son


Para resolver permutaciones primero vamos a ver el número factorial







2)  ¿Cuántas  palabras  de  cinco  letras  se  pueden  forman con las letras de la palabra grupo  sin repetir letras?

Solución: contamos con cinco letras diferentes y queremos formar palabras de cinco por lo tanto tenemos 5 letras para el primer lugar de las palabras, 4 para el segundo lugar, 3 para el tercer, 2 para el cuarto y 1 para el quinto.

3) Cuántos números pueden formar  con los dígitos 1, 2, 3, 4 sin repetir ningún digito y repitiendo
Solución. (Sin repetir números)
4x3x2x1= 4! y 4!=24 también es 4P4=24
Solución: (Con repetir números)
4x4x4x4= 256
4) En una empresa siete ejecutivos asisten a una junta donde hay siete sillas. ¿Cuántas formas diferentes se pueden ocupar las sillas.
5) ¿Cuántas palabras de 6 letras se pueden forman con las letras de la palabra  México  sin repetir letras?
6) Cuántos números se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6, 8, y 9 sin repetir ningún digito.
7) De cuánto formas diferentes puedes acomodar 7 libros diferentes en un estante de
Librero.
8) Cuántos números se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6, 8, y 9 con repetición de digito.



Ejercicios
1) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 7 personas en una fila de 4 asientos?
2) ¿Cuántas palabras de 4 letras se pueden forman con las letras de la palabra  Maestro?
3) ¿Cuántas palabras de 3 letras se pueden forman con las letras de la palabra Saeva?
4) ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden forman con las letras de la palabra  cbtas sin repetir letras?
5) ¿Cuántas números de siete cifras se pueden formar utilizando los números del 1, 233,421?
5)  ¿Cuántas  palabras  de  11  letras  se  pueden  forman  con  las  letras  de  la  palabra Estadística?

Operaciones con permutaciones circulares (cíclicas)
1) Calcula de cuántas formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda.
Solución: Utilizando  la  fórmula  de  permutaciones circulares.
PC= Pc = (n-1)! Es decir P8 = (8-1)!=7!
7!= 7x6x5x4x3x2x1=5040
2)  Calcula   de  cuántas  formas  se  pueden  acomodar  5 personas alrededor de una fogata.
Solución: Sustituyendo P5 = (5-1)! =4!
4!=4x3x2x1= 24




Ejercicios
1) Calcula de cuántas formas se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa redonda.
2) Calcula de cuántas formas se pueden acomodar 10 personas alrededor de una fogata.
3) determina el valor 7C4.
4) ¿Cuántos equipos de 3 alumnos se pueden de formar de 7 alumnos, para un torneo?
5)  En una maquiladora se presentaron a solicitar trabajo 9 hombres y 5 mujeres. ¿De cuantas formas  el  jefe  de  personal  puede  hacer  la  selección  si  únicamente  puede  contratar  a  6 hombres y 3 mujeres?

Fuentes:
Antología de Matemáticas V para el sistema abierto, DGETA, SEMS SEP
Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística  cecytes
ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta edición serie Schaum
Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen

Introducción a la probabilidad y estadística 13a. EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver,  Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,