Herramientas y símbolos matemáticos de empleo común en Estadistica

SÍMBOLOS

∑: sumatorio 
>: mayor que
<:  menor que
≥:  mayor o igual que
≤ : menor o igual que 
≈ : aproximadamente a

SIMBOLOGÍA DE LETRAS

x, y, z representan variables o incógnitas

f, g, h, representan funciones

i, j, k, l m, n, representan parámetros enteros

a, b, c, d, representan constantes

INTERPRETACIÓN DE SUMATORIOS   BAJO EL SÍMBOLO DE SIGMA "∑"

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Tomando en cuenta el símbolo anterior, supongamos que:

X₁ = 3

X₂ = 5

X₃ = 6

X₄ = 1

X₅ = 2

Y₁ = 5

Y₂ = 6

Y₃ = 7

DIFERENTES SUMATORIOS

REDONDEO DE DATOS

Dado que estaremos dando nuestras respuestas finales con dos decimales y en ciertas ocasiones hasta con cuatro cifras decimales, necesitamos decidir cómo determinar el valor de los últimos dígitos.

Si nuestro resultado final tiene ENTEROS redondearemos a DOS DECIMALES

Primer ejemplo cuando el residuo es menor que 0.5: 34.01350 = 34.01 es la respuesta potencial y .350 el residuo; como .350 es menor que 0.5, el último dígito de la respuesta potencial permanece sin cambio y la respuesta final es 34.01

Segundo ejemplo cuando el residuo es mayor que 0.5: 34.01761     34.01 es la respuesta potencial y .761 el residuo; como .761 es mayor que 0.5, al último dígito de la respuesta potencial debemos sumar 1 al último dígito, por lo que la respuesta correcta es 34.02

Tercer ejemplo cuando el residuo es igual a 0.5 y el último dígito de la respuesta potencial es impar: 43.07500    43.07 es la respuesta potencial y .500 el residuo; como es impar el último dígito de la respuesta potencial se AUMENTA 1, por lo que la respuesta correcta es 43.08 

Cuarto ejemplo cuando el residuo es igual a 0.5 y el último dígito de la respuesta potencial es par: 17.06500    17.06 es la respuesta potencial y .500 el residuo; como es par el último dígito de la respuesta potencial NO se aumenta 1, por lo que la respuesta correcta es 17.06

Si nuestro resultado final tiene puras DECIMALES redondeamos a CUATRO DECIMALES

Siguiendo los mismos principios anteriores, si tenemos una cifra de 0.7544762 su respuesta correcta es 0.7545; en cambio si es 0.1136211 la respuesta correcta es 0.1136; si tenemos que 0.3463500 lo correcto será 0.3464; finalmente si tenemos 0.7728500 lo correcto será 0.7728.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE “REDONDEO”.

Redondea las siguientes cifras:

22.666666 =  __________________                  0.7654598 = ___________________

57.87754 = ____________________                0.0663597= ___________________

3876.2255 = ___________________                0.3877865 = ___________________

99.7156 = _____________________                0.005329 = _____________________

CÁLCULO DE PROPORCIONES

El cálculo de proporciones nos permite saber el peso específico que tienen los distintos valores de la variable (algo que no podemos observar sólo con los valores absolutos).

Lo obtenemos dividiendo cada caso (ni) por el número total de casos (N):

TIPS PARA TRABAJAR CON PORCENTAJES

1) Para hallar el porcentaje de un número

Ejemplo: Hallar el 68% de 87

2) Para hallar el porcentaje de un número hay que seguir estos pasos:

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3) Convertir una fracción en un porcentaje

Vamos a convertir 4/5 en un porcentaje

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4) Convertir un decimal a un porcentaje

Convertimos 83% en un decimal 

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CÁLCULO DE RAZONES

Permiten conocer la relación de "pesos" que existe entre dos categorías.

Por ejemplo:

Queremos conocer la "razón" del número de hombres por el número de mujeres

A) HOMBRES: 158.000

B) MUJERES: 163.000

¿Cuántos hombres hay por cada 100 mujeres?

La categoría que queremos conocer se pone siempre en el dividendo:

¿Cuántas mujeres hay por cada 100 hombres?

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Al escribir números, en especial aquellos en los que hay muchos ceros antes o después del punto decimal, es conveniente usar la notación científica empleando potencias de 10.

EJEMPLO 3  10¹=10,  10²=10 ×10 =100,  10⁵=10 ×10 ×10 ×10 ×10 =100 000 y 10⁸=100 000 000.

EJEMPLO 4  10⁰=1, 10⁻¹=.1 o 0.1;  10⁻²=.01 o 0.01; y 10⁻⁵=.00001 o 0.00001.

EJEMPLO 5  864 000 000 =8.64 ×10⁸  y 0.00003416 =3.416 ×10⁻⁵.

Observe que el efecto de multiplicar un número, por ejemplo, por 10⁸, es recorrer el punto decimal del número ocho lugares a la derecha. El efecto de multiplicar un número por 10⁻⁶es recorrer el punto decimal del número seis lugares a la izquierda.

Con frecuencia, para hacer énfasis en que no se ha omitido un número distinto de cero antes del punto decimal, se escribe 0.1253 en lugar de .1253. Sin embargo, en casos en los que no pueda haber lugar a confusión, como en tablas, el cero antes del punto decimal puede omitirse.

Para indicar la multiplicación de dos o más números se acostumbra usar paréntesis o puntos. Así (5)(3) =5 ·3 =5 ×3 =15, y (10)(10)(10) =10 ·10 ·10 =10 ×10 ×10 =1 000. Cuando se utilizan letras para representar números suelen omitirse los paréntesis y los puntos; por ejemplo, ab =(a)(b) = a · b = a × b.

La notación científica es útil al hacer cálculos, en especial para localizar el punto decimal. Entonces se hace uso de las reglas siguientes:

(10^p)(10^q)=10 ^p+q   10^p /10^q =10^{p – q}  donde p y q son números cualesquiera.

En 10^p, p es el exponente y 10 es la base.

 EJEMPLO 2  La estatura H de una persona que puede ser 62 pulgadas (in), 63.8 in o 65.8341 in, dependiendo de la exactitud con que se mida, es una variable continua.

Los datos descritos mediante una variable discreta son datos discretos y los datos descritos mediante una variable continua son datos continuos. Un ejemplo de datos discretos es la cantidad de hijos que tiene cada una de 1 000 familias, en tanto que un ejemplo de datos continuos son las estaturas de 100 estudiantes universitarios. En general, una Medición proporciona datos continuos; en cambio, una enumeración o un conteo proporcionan datos discretos.

Es útil ampliar el concepto de variable a entidades no numéricas; por ejemplo, en el arco iris, color Ces una variable que puede tomar los “valores” rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, índigo o violeta. Estas variables se pueden Reemplazar por números; por ejemplo, se puede denotar rojo con 1, anaranjado con 2, etcétera.

EJEMPLO 6  (10³) (10²)=1 000 100=100 000=10⁵es decir, 10³⁺²

10⁶/10⁴=1 000 000/10 000=100=10²es decir, 10^{6 - 4}

EJEMPLO 7  (4 000 000) (0.0000000002)= (4 x 10⁶) (2 x 10^-10)= (4) (2) (10⁶)(10^-10)=8 x 10^{6- 10}=10⁴=0.0008

EJEMPLO 8 (0.006) (80 000)/0.04= (6 x10^-3) (8 x  10⁴)/4 x 10^-2 =48 x 10¹/4 x 10^-2=48/4 x 10^{1- (-2)}=12 x 10³=12 000

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Si se anota la estatura de una persona como 65.4 in, esto significa que la estatura verdadera estará entre 65.35 y 65.45 in. Los dígitos exactos, fuera de los ceros necesarios para localizar el punto decimal, son los dígitos significativos o cifras significativas del número.

EJEMPLO 9  65.4 tiene tres cifras significativas.

EJEMPLO 10  4.5300 tiene cinco cifras significativas.

EJEMPLO 11  .0018 =0.0018 =1.8 ×10⁻³ tiene dos cifras significativas.

EJEMPLO 12  .001800 =0.001800 =1.800 ×10⁻³tiene cuatro cifras significativas.

Los números obtenidos de enumeraciones (o conteos), a diferencia de los obtenidos de mediciones, por supuesto son exactos y por lo tanto tienen un número ilimitado de cifras significativas. Sin embargo, en algunos de estos casos puede ser difícil decidir, sin más información, cuáles cifras son significativas. Por ejemplo, el número 186 000 000 puede tener 3, 4,. . ., 9 cifras significativas. Si se sabe que tiene cinco cifras significativas puede ser más adecuado escribirlo como 186.00 millones o como 1.8600 ×10⁸

CÁLCULOS

Al realizar cálculos en los que intervienen multiplicaciones, divisiones o raíces de números, el resultado final no puede tener más cifras significativas que el número con menos cifras significativas (ver problema 1.9).

EJEMPLO 13  73.24 ×4.53 = (73.24) (4.52) =331

EJEMPLO 14  1.648/0.023 =72

EJEMPLO 15  √38.7= 6.22

EJEMPLO 16  (8.416) (50) =420.8 (si 50 es exacto)

Cuando se suman o restan números, el resultado final no puede tener más cifras significativas después del punto decimal que los números con menos cifras significativas después del punto decimal (ver problema 1.10).

EJEMPLO 17  3.16 +2.7 =5.9

EJEMPLO 18  83.42 −72 =11

EJEMPLO 19  47.816 −25 =22.816 (si 25 es exacto)

La regla anterior para la suma y la resta puede extenderse (ver problema 1.11).

DESIGUALDADES

Los símbolos <y >significan “menor que” y “mayor que”, respectivamente. Los símbolos ≤ y ≥ significan “menor o igual a” y “mayor o igual a”, respectivamente. Todos estos símbolos se conocen como signos de desigualdad.

EJEMPLO 23  3 <5 se lee “3 es menor que 5”.

EJEMPLO 24  5 >3 se lee “5 es mayor que 3”.

EJEMPLO 25  X <8 se lee “X es menor que 8”.

EJEMPLO 26  X ≥10 se lee “X es mayor o igual a 10”.

EJEMPLO 27  4 < Y ≤ 6 se lee “4 es menor que Y y Y es menor o igual a 6” o “Y está entre 4 y 6, excluyendo al 4 e incluyendo al 6” o “Yes mayor que 4 y menor o igual a 6”.

A las relaciones en las que intervienen signos de desigualdad se les llana desigualdades. Así como se habla de miembros de una ecuación, también se habla de miembros de una desigualdad. Por lo tanto, en la desigualdad 4 < Y ≤ 6, los miembros son 4, Y  y  6.

Una desigualdad válida sigue siendo válida si:

1.  A cada miembro de la desigualdad se le suma o se le resta un mismo número.

EJEMPLO 28  Como 15 >12, 15 +3 >12 +3 (es decir, 18 >15) y 15 −3 >12 −3 (es decir, 12 >9).

2.  Cada miembro de la desigualdad se multiplica por un mismo número positivo o se divide entre un mismo número positivo.

EJEMPLO 29  Como 15 >12, (15) (3) >(12)(3) (es decir, 45 >36) y 15/3 >12/3 (es decir, 5 >4).

3.  Cada miembro se multiplica o se divide por un mismo número negativo, lo que indica que los símbolos de la desigualdad son invertidos.

EJEMPLO 30  Como 15 >12, (15)(−3) <(12)(−3) (es decir, −45 < −36) y 15/(−3) <12/(−3) (es decir, −5< −4)

Fuentes:

Antología de Matemáticas V para el sistema abierto, DGETA, SEMS SEP

Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística  cecytes

ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta edición serie Schaum

Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen

Introducción a la probabilidad y estadística 13a. EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver,  Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,