Probabilidad de un suceso y eventos
complementarios
Fenómenos aleatorios y
deterministas
Experimentos deterministas y aleatorios.
Experimento o fenómeno
determinista es aquel cuyo resultado se puede predecir, como consecuencia se
tiene siempre el mismo resultado, ejemplos:
a) Al lanzar un objeto hacia arriba, seguramente
caerá.
b) Al día martes le antecede el día lunes.
c) Si se mezclan dos átomos de hidrógeno con uno
de oxígeno, se forma una molécula de agua.
Experimentos o fenómenos aleatorios.
Son aquellos que no se pueden
predecir o asegurar. Estos fenómenos dan lugar a varios resultados sin que se
pueda asegurar cuál de ello se presentará. Ejemplos:
a) El lanzamiento de un dado.
b) Los sorteos de la Lotería Nacional.
c) El resultado de un partido de futbol.
d) Elegir al azar una carta de una baraja
americana.
En el
estudio de la
Probabilidad, se dice
que cualquier observación
o medida de
un fenómeno aleatorio es
un experimento, los efectos posibles del experimento se llaman
resultados, y el conjunto de todos los posibles resultados se conoce como
especio muestral, el cual se simboliza con la letra S.
El espacio muestral es el homólogo al Universo en la teoría de
conjuntos. Ejemplos:
a) Experimento: Lanzamiento de dos monedas ( $1
y $5)
S = { aa, ss, as, sa }
Donde:
a : cae águila.
s : cae sello.
b) Acontecimiento aleatorio: Resultados de dos
juegos de futbol de la selección mexicana.
S = {gg, gp, pg, ge, eg, pe, ep, pp, ee }
Donde:
g: la selección gana.
p : la selección pierde.
e : la selección empata
c) Situación aleatoria: Sexo de tres bebés al
nacer.
S = { f f f, f f m, f m f, m f f, f m m, m f m,
m mf, m m m }
Donde:
f : nace una niña.
m : nace un niño.
Algunos ejemplos
de fenómenos deterministas son:
a) Si vas al súper a comprar la
despensa de la semana y te dicen que gastaste un total de $ 1, 200 y
pagas con tres
billetes de quinientos
pesos, sabes de
antemano que te
tienen que regresar feria.
b) Si colocamos al fuego un
recipiente con leche podemos asegurar que después de un tiempo la leche
hervirá.
Ejercicios:
Escribe sobre la línea
si el fenómeno es aleatorio o determinista:
a) En un partido de futbol uno de
los equipos ganará (que no haya empate) __________
b) Al lanzar un dado caerá el
número cuatro ____________________
c) Si se lanza un dado caerá un
número par ______________
d) Extraer una baraja de un mazo
de cartas y que sea 10 __________________________
e) La suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180° _______________________
Si arrojamos un dado al aire
tenemos la posibilidad de que caiga: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ahora de una manera semejante a
lo anterior, contesta sobre la línea:
Si arrojamos una moneda al aire
tendremos la posibilidad de que caiga:
En una pelea de box los posibles
resultados que resultan (que no haya empate) son:
Espacio muestral
El conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral
El espacio muestral se representa
por la letra S
EVENTO Ó SUCESO.
Es un conjunto de resultados, es
decir, es un subconjunto del espacio muestral. Al sacar
al azar una
moneda de una
bolsa negra que contiene
cinco monedas de dos pesos
y siete monedas
de diez pesos. ¿De
qué tamaño es
el espacio muestral?
y¿Cuáles son sus elementos?
Solución: El tamaño
del espacio muestral
es 12; y sus
elementos son: ($2, $2, $2, $2, $2, $10,
$10, $10, $10, $10, $10, $10)
Ejemplos
Se tiran un par de dados y se
anotan los números que salen
Eventos especiales.
Evento seguro:
Es aquel evento
que contiene todos
los posibles resultados
del experimento aleatorio;
es decir coincide con el espacio
muestral.
Evento imposible o nulo: Es aquel
que carece de resultados, es el equivalente al conjunto vacío.
El complemento de un evento: Es
aquel evento que contiene todos los resultados que no tiene el evento del cual es complemento.
Eventos mutuamente
excluyentes: Dos eventos
son mutuamente excluyentes
si no pueden
ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su
intersección es vacía.
Ejemplo:
Experimento: Lanzamiento de un
dado.
Un evento seguro es A: Caiga
número par o impar.
Un evento imposible para este
experimento es B: Caiga un número negativo.
Un evento C: Caiga número menor a
3, tiene como complemento Cc: Caiga número mayor o igual a 3.
Dos eventos mutuamente
excluyentes son: P: Caiga número primo y Q: Caiga número que tenga más divisores.
Cálculo de probabilidades.
La probabilidad
de un evento,
siendo ésta una
medida numérica de
la posibilidad de
ocurrencia del evento,
se determina de dos maneras: empíricamente, es decir, de forma experimental o bien de manera teórica.
Veamos esto con los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Se lanza al aire una
moneda, determine la probabilidad de que caiga águila. No existe una razón
aparente para que una de las
caras de la
moneda caiga con
mayor frecuencia que la otra (
a la larga
), de modo
que normalmente supondremos que águila y sello son igualmente probables.
Esto se enfatiza diciendo que la moneda
es “legal”.
En este caso el espacio muestral
es S = {águila, sello} y el evento cuya probabilidad buscamos es A = {águila}.
Como uno de los dos resultados es
águila, la probabilidad es el cociente de 1 y 2.
De manera simbólica podemos
expresar esto como:
Ejemplo 2. Se lanza al aire una
taza de plástico, determine la probabilidad de que caiga hacia arriba.
Intuitivamente, es probable que
una taza caiga de lado mucho más veces que hacia arriba o hacia abajo. Pero no
queda claro exactamente qué tan frecuentemente. Para tener una idea, se realiza
el experimento de lanzar la taza 80 veces, cayó de lado 70 veces, boca arriba 8
veces y boca abajo 2 veces. Por la frecuencia de veces a favor del evento de
interés, concluimos que:
Analizando el ejemplo 1, que
implica el lanzamiento de una moneda no defectuosa, el número de resultados
posibles era evidentemente dos,
ambos igualmente probables,
y uno de
los resultados era
águila. No se
requirió un experimento real. La
probabilidad deseada se obtuvo empíricamente.
Las probabilidades teóricas
se aplican a
toda clase de juegos
de azar, lanzamiento
de dados, juegos
de cartas, ruletas, loterías, entre otros.
Pierre Simon de Laplace, en su
famoso trabajo llamado “Teoría Analítica de las Probabilidades”, publicado en
1812, dio una fórmula que se aplica a cualquiera de tales probabilidades teóricas,
siempre y cuando el espacio muestral sea finito
y equiprobable; es
decir que contenga
una cantidad determinada
de resultados todos
y cada uno
de ellos igualmente posibles de
ocurrir que cualquiera de los otros.
Fórmula de la probabilidad
teórica.
Si todos
los resultados de un espacio
muestral S son
igualmente probables, y
A es un
evento en ese
espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento A está
dada por:
Fórmula de la probabilidad empírica.
Si A es un evento que puede
suceder cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del
evento A está dada por:
Ejemplo 1. Se lanzan tres
monedas. Determine la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los siguientes
eventos:
a) Caigan tres sellos.
b) Caigan por lo menos dos
águilas.
c) Caigan en “disparejo”
Se inicia por deducir el espacio
muestral:
S = { aaa, aas, asa, saa, ass,
sas, ssa, sss }
Como cada uno de los ocho
resultados es igualmente posible de ocurrir que los otros siete, entonces el
espacio muestral es equiprobable.
Evento A: caigan tres sellos. Se
puede observar en el espacio muestral sólo hay un resultado que favorece (sss),
por
Ahora se define el evento B:
Caigan por lo menos dos águilas.
Por lo menos dos, implica que
caigan dos o tres águilas, observando
el espacio muestral, los cuatro primeros resultados son favorables al evento,
por lo tanto
Finalmente, sea C: Caigan en
“disparejo”, es decir que no caigan
todas las monedas con igual cara, se ve
que son seis los resultados favorables en el total del espacio muestral, por lo
cual
Ejemplo 2. Considera un juego que
consiste en el lanzamiento de dos dados, se gana si la suma de los puntos es 7,
¿Cuál es la probabilidad de
ganar?
Sea G: La suma es 7.
Anteriormente se dedujo que
existen 36 posibles resultados en el lanzamiento de dos dados, cada uno
igualmente posible de presentarse, es decir, es un espacio muestral
equiprobable, por tal motivo se puede aplicarla regla de Laplace.
De los 36 resultados, podemos darnos cuenta al observar el
espacio muestral que en seis resultados (3,4), (4,3), (5,2), (2,5), (6, 1)
(1,6) la suma es siete, por lo tanto:
Ejemplo 3. Al almacén de una
tienda comercial llega un pedido de 30 Laptops. El inspector de calidad ignora
que 5 presentan defectos. La regla de control exige que se elija al azar un
artículo y si cumple con la norma de calidad, se acepta todo el pedido; en caso
contrario se rechaza.
a) Calcular la probabilidad de que se acepten
todas l aLaptops.
Sea el evento K: Se acepten todas
las Laptop.
El espacio muestra consta de las
12 laptop, como se elige al azar una, entonces cualquiera de las doce tiene la
misma probabilidad de ser elegida, por lo tanto el espacio muestral es
equiprobable y se puede aplicarla regla de Laplace.
b) ¿Qué tan probable es que se rechacen todos
los artículos?
Sea Kc: Se rechacen todas las
laptop. Dado que se tienen 5 artículos defectuosos.
Propiedades de la
probabilidad.
Regla general de la adición.
Con base a los resultados de la
cardinalidad de la unión de conjuntos, se puede deducir la regla general para
la suma de probabilidades.
Si A y b son dos eventos
cualesquiera, entonces:
P(A ∪B ) = P( A ) +
P( B ) – P ( A ∩B )
Ejemplo 1. A una conferencia
asisten 12 alumnos de primer semestre,
20 de tercero y 8 de quinto semestre. Si se elige al azar a un estudiante,
determina la probabilidad de que sea de primer o tercer semestre.
El espacio
muestral consta de los 40
alumnos, como la
elección es aleatoria,
cada uno de
ellos tiene igual probabilidad de ser elegido, por lo que
es un espacio muestral equiprobable.
Los eventos A y B se definen:
A: Sea alumno de primer semestre.
B: Sea alumno de tercer semestre.
Como A y B son eventos mutuamente
excluyentes, la intersección es vacía, por lo tanto:
P ( A U B ) = 80 .040
Para obtener la
probabilidad de un
evento A, como
resultado de un
experimento puede obtenerse con
la fórmula
Donde:
A = Evento o suceso
n(A)= Número de resultados favorables
S = Número total de eventos (espacio muestral)
La probabilidad siempre
es un número
que se encuentra
entre cero y
uno
además:
a) Si el evento no puede ocurrir su probabilidad es cero.
b) Si el evento ocurre siempre, entonces su probabilidad es
uno.
c) Para cualquier
evento A, la
probabilidad del complemento
es
P(A ) = 1- P(A)
o P(A ) = 1- P(A)
Si lanzamos un
dado al aire
una sola vez,
¿cuál es la probabilidad de que caiga el número 2?
Solución:
A = {que caiga el número 2}
El evento favorable es n(A) = 1
El espacio muestral del experimento es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6
}
La probabilidad del evento es
Si lanzamos dos monedas al aire al mismo tiempo, ¿cuál es la
probabilidad de caigan águila en las dos?
Solución:
A = {que caiga águila las dos}
El evento favorable es n(A) = 1
El espacio muestral del experimento es S = {(A, A), (S, S),
(A, S), (S, A) } el espacio muestral es de tamaño 4.
La probabilidad del evento es
Ejercicios
1) Una urna
tiene diez canicas
verdes, seis rojas
y cuatro azules.
Si se extrae
una canica aleatoriamente,
determina la probabilidad de que sea azul.
2) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda y un
dado al aire, la moneda caiga águila y el dado sea un número par?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados al
aire la suma de sus puntos sea menor que seis?
4) Calcula probabilidad
que al extraer
un tamal de
una olla sea
de carne, sabiendo
que ella contiene 3 tamales de
carne, 2 de elote y 5 de piña.
5) En un
grupo de quinto
semestre de CECyTES
16 alumnos reprobaron
y 28 aprobaron
el examen del primer parcial de estadística. Si al extraer
aleatoriamente un alumno de este grupo.
¿Cuál es la probabilidad de que sea uno que aprobó el primer
parcial?
6) En
el dominó que
se te muestra
a continuación. ¿Cuál
es la probabilidad
de extraer aleatoriamente una
ficha que sea mula
Probabilidad Condicional
Lee con atención y contesta
brevemente las siguientes preguntas
.
En una caja de cartón están
envueltos 5 regalos que se van a repartir entre los cinco grupos del sexto
semestre para apoyarlos con los gastos de su graduación.
Los regalos
se seleccionan en
forma aleatoria, uno
a la vez.
El regalo seleccionado no puede
reintegrarse o devolverse a la caja. Los regalos son: $5,000 en efectivo, un
vale por la renta del local, un vale por el costo de las fotos y videos, y un
vale por la renta de la toga, el birrete y la estola. Se anuncia que un regalo
contiene un cheque por $ 40,000.
1. Supongamos
que un representante
de un grupo
extrae el regalo
de los $5000.00,
la probabilidad que el siguiente regalo seleccionado sea el cheque por
$40,000 ¿aumenta o disminuye?
Respuesta:______________
porque_______________________________
2. Si
la segunda extracción
es el vale
por la renta
de la toga,
el birrete y
la estola, la probabilidad que el siguiente regalo
seleccionado sea el cheque por $40,000 ¿aumenta o disminuye?
Respuesta:______________
porque_______________________________
3. El siguiente regalo extraído es el vale por
el costo de las fotos y videos, la probabilidad que el
siguiente regalo seleccionado
sea el cheque
por $40,000 ¿aumenta
o disminuye?
Respuesta:______________
porque_______________________________
4. ¿La probabilidad de extraer cada uno de los
regalos en cada extracción sucesiva puede considerarse como probabilidad condicional?
Respuesta:______________
porque______________________________
Dos eventos, digamos A y B, son
dependientes si la ocurrencia de uno
tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. la
probabilidad de obtener A dado que ha ocurrido B es
NOTA: La barra vertical se lee:
“dado” y la letra de la derecha es el
evento que se sabe ha ocurrido.
Una aplicación muy importante de
esta regla es el cálculo de la probabilidad para la intersección de dos
eventos.
EJEMPLOS
1. Se tira un par de dados. Hallar la
probabilidad que haya caído un dos en un dado (evento A), si la suma en ambos
es seis (evento B). Es decir, hallar P(A│B).
Evento A: Obtener al menos un 2
en uno de los dados.
Evento B: La suma de ambos dados
sea 6.
El espacio
muestral S está
determinado por (6)(6)
= 36 como
se observa abajo.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
Hay 5 casos posibles para que la suma sea 6 y dos casos de
los 5 donde hay un 2 y la suma es
6, es decir
2. Supongamos que se
extrae una muestra aleatoria de una bolsa de frutas. La bolsa contiene cuatro
manzanas, seis naranjas, y cinco
duraznos. Si se seleccionan dos frutas, una a la vez, sin
reemplazo, ¿cuál es
la probabilidad de
que se obtenga
una naranja y una manzana en ese orden?
Como la primera fruta que se extrae (suponemos es la
naranja) no se reintegra a la bolsa, la probabilidad que la segunda fruta sea
una manzana se ve afectada porque quedan menos frutas en la bolsa, entonces
obtener naranja y manzana en ese orden son eventos dependientes.
Evento C: obtener naranja en la primera extracción
Evento D: obtener manzana en la segunda extracción
EJERCICIOS
1) Se lanzan dos
dados. Calcula la probabilidad de que en un dado haya caído 3 si la suma de
ambos fue 7.
2) De un mazo
ordinario de barajas (de 52 cartas) se extrae una carta, si se sabe que fue de
diamante, ¿cuál es la probabilidad de haya sido un rey?
Eventos independientes
Dos eventos son independientes si
P (A/B) = P (A) y son dependientes de otro modo. Por lo tanto dos eventos son
independientes si la ocurrencia de un evento no tiene efecto alguno sobre la
ocurrencia del otro, lo que quiere decir que P (A) no depende de la P (B) y/o
viceversa.
Para dos sucesos A y B
independientes, tales que P (A) > 0 y P (B) > 0, se tiene:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
relación que obtuvimos así:
Como:
P (B / A) = P (B) ya que la
ocurrencia del suceso A no afecta la probabilidad de que sucede B.
Análogamente:
P (A / B) = P (A) por ser sucesos
independientes
Tenemos:
Considerando la relación de la
probabilidad condicional:
P (B / A) = P (A ∩ B) / P (A)
Despejamos:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B / A)
Entonces como P (B / A) = P (B)
obtenemos:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Esta es
la ley multiplicativa de
los sucesos compuestos
y corresponde a la probabilidad axiomática.
Determine las probabilidades
independientes de los siguientes ejercicios, aplicando la formula
correspondiente:
1.- Supongamos que vamos a extraer al azar dos
cartas, una a la vez, regresando al mazo
la primera extraída (con
reemplazo), de una
baraja ordinaria. ¿Cuál
es la probabilidad
de que ambas cartas sean ases?
Nota: Siendo eventos
independientes porque si extraemos un as y luego lo devolvemos al mazo de cartas
eso no influye
en la próxima
extracción que también
puede ser otro
as. Toma en cuenta que una baraja ordinaria tiene 52
cartas, de las cuales 4 de ellas son ases.
2.- Si se lanzan dos monedas una
sola vez, ¿cuál es la probabilidad de que ambas caigan cara hacia arriba?
Nota: Son eventos independientes
porque son 2 monedas.
3.- Supongamos
que lanzamos una
sola vez un
par de dados
no cargados (no
alteradoso arreglados),
¿cuál es la
probabilidad de obtener
un dos en
el primer dado
y un cuatro
en el segundo?
Selecciones al azar con o sin reemplazo
La selección al azar con o sin
reemplazo depende de los experimentos a realizar y significa que se puede
ejecutar un evento donde regresemos al estado original o de
inicio el mismo,
en este caso
los elementos utilizados
se reintegran para formar
el todo nuevamente.
Y lo contrario,
sin reemplazo no
se reintegra el elemento utilizado al todo, viéndose este
disminuido en su total original.
Explicado lo
anterior, una selección
al azar con reemplazo es
aquella que al
realizar el experimento podemos
tener la opción
por ejemplo de
regresar una canica
extraída de una bolsa, regresar una carta seleccionada de
una baraja ordinaria o volver a tirar el mismo dado lanzado la
primera vez. Y
en una selección
al azar sin
reemplazo, se está
modificando o afectando el estado
original del experimento, es decir, si saco una canica de una bolsa y no la
regreso a la
misma, ya no
se tienen el
mismo número de
canicas con las
que iniciaste originalmente, por
lo que el segundo evento se ve afectado por el primero.
EJEMPLOS SIN REEMPLAZO
1.- Vamos a suponer que se extraerán al azar dos cartas, una a la
vez, de una baraja ordinaria de 52 piezas.
¿Cuál es
la probabilidad de
que en cada
evento ambas cartas sean ases?
Solución: 4/52 y 3/51
La solución anterior se obtiene
de realizar el primer evento donde se extrae la primera carta de las 52 piezas
y al extraer esta carta el total de ellas se ve disminuido a 51 cartas, lo que
afecta al segundo evento,
por lo que
su probabilidad depende
del segundo evento.
El número 4 representa el total
de cartas “Ases” que tiene un paquete normal de 52 cartas.
2.- ¿Qué
sucede con la probabilidad al extraer una segunda carta, si la primera
extraída no se regresa al mazo?
Solución: Disminuye
La solución anterior se obtiene
al tener que dividir 4/52 = 0.076 y 3/51 = 0.058, por lo que se puede observar
que es mayor la probabilidad del primer evento, debido a la disminución del
total de cartas al no regresar la primera.
EJEMPLOS CON REEMPLAZO
Tomando en cuenta el ejercicio
anterior:
1.- Si
al extraer una
tercer carta, ¿Qué
pasa con la
probabilidad del tercer
evento, si se regresan las primeras 2 cartas sustraídas,
aumenta, disminuye o se mantiene?
Solución: Se mantiene
Se puede
observar que la
probabilidad se mantiene
debido a lo
siguiente: al regresar
las 2 primeras cartas extraídas,
el total de
cartas es 52, por lo
tanto al
calcular la probabilidad
de sacar la tercera carta es 1/52 = 0.019. “Siempre que reemplacemos las
cartas extraídas para cada evento se tendrán 52 piezas en total, por lo tanto
la probabilidad siempre se determinará sobre el mismo número de cartas. Viéndolo
de otra forma:
Primer evento es 1/52 = 0.019
Segundo evento es 1/52 = 0.019
(se regresó la primera carta extraída)
Tercer evento es 1/52 = 0.019 (se
regresó la primera y segunda cartas extraídas)
2.- Entonces: ¿Qué
sucede con las probabilidades de aquellos eventos donde el total de datos sigue
siendo el mismo para cada suceso?
Solución: se mantiene o es la misma para cada probabilidad
por evento.
Fuentes:
Antología de Matemáticas V para el sistema abierto,
DGETA, SEMS SEP
Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística cecytes
ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta
edición serie Schaum
Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos
Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen
Introducción a la probabilidad y estadística 13a.
EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
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