Teoría de conjuntos
Operaciones con conjuntos
CONJUNTO
Es la reunión, agrupación o
colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este
fue inventado por Georg Cantor hace 100 años.
Los objetos
que componen al
conjunto se llaman
elementos o miembros,
y se escriben
con letras minúsculas a, b, x, y, etcétera.
Un conjunto puede determinarse de dos formas:
Por extensión: escribiendo dentro
de una llave los nombres de los elementos del conjunto.
Por comprensión:
escribiendo dentro de
una llave una
propiedad característica de los
elementos del conjunto y solamente de ellos.
Ejemplo: El conjunto de los meses
del año se nombra:
Por extensión:
{Enero, febrero, marzo,
abril, mayo, junio,
julio, agosto, septiembre,
octubre, noviembre, diciembre}
Por comprensión: {meses del año},
o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de
elementos x tales que x es un mes del año.
Ejemplo: El conjunto dedos de la
mano se nombra
Por extensión: {Pulgar, Índice,
Mayor, Anular, meñique}
Por comprensión: {dedos de la
mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de la mano}, que se lee:
conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano
Conjunto Finito: Se denomina así
al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento
Ejemplo: M= {x/x es mes del año}Porque sabemos que el último mes
es Diciembre
Conjunto Infinito:
Se denomina así al conjunto
al cual no
podemos nombrar su
último elemento
Ejemplo: M= {x/x es número natural}Por qué no sabemos cuál es el
último número.
Conjunto Universo: Se denomina
así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia
Ejemplo: U= {x/x es un animal}
A= {x/x es un mamífero}
B= {x/x es un reptil}
Conjunto vacío: Se denomina así
al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le
considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: {*}
Ejemplos: Conjunto de los meses
del año que terminan en a. Conjunto de números impares múltiplos de 2.
Conjunto unitario. Es el conjunto
que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses
del año que tiene menos de treinta días, solamente febrero pertenece a dicho
conjunto.
Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no
tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos
siguientes: {x/x es un número natural}
{x/x es un día de la semana}
Los conjuntos anteriores de
llaman disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.
¿Cuáles son las operaciones entre
conjuntos?
Unión de conjuntos. Es la unión
de los elementos de dos o más conjuntos, formando un nuevo
conjunto cuyos
elementos son los
elementos de los
conjuntos originales, pero,
cuando un elemento se repite,
dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez; en
esto se
diferencia la unión
de conjuntos del
concepto clásico de
la suma, en
la que los elementos comunes se consideran tantas
veces como estén en el total de los conjuntos.
EJEJMPLO
Dados los conjuntos: A = {d, f g,
h} y B = {b, c, d, f}
La unión
de dichos conjuntos
será: AUB= {d,
f, g, h, b, c}, mientras que según el concepto clásico de
la suma hubiésemos puesto:
A + B = d + f + g + h + b + c + d + f.
Sean A y B dos subconjuntos de un
conjunto universal U. Definimos las siguientes operaciones entre conjuntos:
Unión: A∪ B = {x∈U
: x∈
A ó x∈B}
Intersección: A∩ B = {x∈U
: x∈
A y x∈B}
Diferencia o resta: A \ B = {x∈U
: x∈
A y x∉B}
Diferencia simétrica: AΔB = (A \ B) ∪
(B \ A)
Complementario: Ac =U \ A = {x∈U : x∉ A}
Propiedades:
1) A ⊆ A∪ B, B ⊆ A∪
B
A∩ B ⊆ A, A∩ B ⊆ B
2) A∪(B ∪C)= (A∪ B)∪C
(propiedad asociativa de la unión)
A∩ (B ∩C)= (A∩ B) ∩C (propiedad asociativa de la
intersección)
3) A∪ (B ∩C)= (A∪ B) ∩ (A∪C) (propiedad distributiva)
A∩ (B ∪C)= (A∩ B) ∪ (A∩C) (propiedad distributiva)
4) (A∪ B) c = Ac ∩ BBC (leyes de Morgan)
(A∩ B) c = Ac ∪ BBC
5) A∪ B = B ∪ A
(conmutativa de la unión)
A∩ B = B ∩ A (conmutativa de la intersección)
6) AΔB = (A∪ B) \ (A∩ B)
Ejemplos
A
continuación se te
presentan una serie
de ejercicios trata
de resolverlos de la mejor manera.
Esta actividad se evaluará con la
lista de cotejo que se encuentra al final del parcial
1).- ¿Cuál es el conjunto formado
por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n,f,o}?
2).- Representa la unión de los
conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3.- ¿Cuáles de los siguientes
conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = {x I x es día de la
semana}
b) B = {vocales de la palabra conjunto}
c) C = {1, 3, 5, 7, 9,. . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI}
Diagramas de Venn
Los diagramas
de Venn son
ilustraciones usadas en
la rama de la
Matemática y Lógica
de clases conocida como teoría de conjuntos.
Estos diagramas
se usan para
mostrar gráficamente la
agrupación de cosas
elementos en conjuntos,
representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición
relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.
A
veces se incluye
un rectángulo alrededor
del diagrama de Venn,
que recibe el
nombre de universo de
discurso (antes se creía
en la existencia
de un conjunto
universal pero Bertrand
Russell descubrió que con tal
concepto el sistema es inconsistente). Si los círculos de los conjuntos A y B
se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los
elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece
dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están
contenidos en B.
Ejemplo
Ejemplo
1.-
Sean A ={1,2,3,4}; B = {2,4,6,8}; y C
={3,4,5,6}
Encontrar:
a).- A U B b).- A ∩ C
Solución:
Representación Grafica
Ejercicios
1. Reunidos en equipos de
tres integrantes analicen
y solucionen el siguiente ejercicio de acuerdo al ejemplo
anterior.
2. Esta actividad se evaluará con
la lista de cotejo que se encuentra al final del parcial
a) A U C =
{_,2,_,4,5,_}
b) B U C =
{_,3,_,5,6}
c) B U B = {2,4,_,_}
d) C ∩ A = { }
3) En el diagrama que colocamos a
continuación, se han colocado los datos
obtenidos en una encuesta,
realizada a personas
mayores, donde se les preguntó
si tomaban té
o café. Los números que aparecen se refieren a las
cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas
posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.
En base a estos datos
responderemos a las siguientes
preguntas:
a)
1.-¿Cuántas personas tomaban té?
b)
2.-¿Cuántas personas tomaban café?
c)
3.-¿Cuántas personas tomaban té y café?
d)
4.-¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las
dos bebidas?
e)
5.-¿Cuántas personas no tomaban té?
f)
6.-¿Cuántas personas no tomaban café?
g)
7.-¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de
esas dos bebidas?
h)
8.-¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas
dos bebidas?
i)
9.-¿Cuántas personas tomaban sólo café?
j)
10.-¿Cuántas personas tomaban alguna de esas
bebidas?
4. En un grupo de 50
alumnos el 20% reprobaron la materia de Cálculo. ¿Cuántos alumnos aprobaron la
materia?
5. Un ganadero elije
una muestra aleatoria de cabezas de cierta raza de ganado de 10, 8, 9, 7 y 12.
Encuentra la media y desviación estándar de esta muestra.
6. Los alumnos del
cuarto semestre de la especialidad de electrónica que reprobaron las materias
de cálculo y Física son A= {Arturo, Pedro, José, Ana y B= {Laura, Pedro, María,
Jaime, Ana} respectivamente. ¿Qué alumnos reprobaron ambas materias? ¿Qué
alumnos reprobaron Cálculo o Física?
Binomio
de Newton y triangulo de Pascal o Tartaglia
( x + y )1 = x
+ y
( x + y )2 =
x2 + 2xy + y2
(
x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(
x + y )4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 +
4xy3 + y4
(
x + y )5 =
(
x + y )6 =
1. El número de términos es igual al grado del binomio más uno.
2. El grado del primer término es igual al grado del binomio y disminuye
sucesivamente en uno, en cada uno de los siguientes términos y es factor en
todos los términos, menos en el último.
3. El segundo término, “y” en los
ejemplos, aparece en el segundo término del desarrollo con exponente uno, y
aumenta sucesivamente en uno en cada uno de los términos siguientes hasta
llegar al exponente del binomio, el cual es el último del resultado.
4. El coeficiente del primer término del resultado es uno y el del segundo
es el exponte del binomio; el último término también es uno.
5. El coeficiente de un término cualquiera es igual al coeficiente del
término inmediato anterior, por el exponente de “x” en éste término y dividido entre el número de términos
desarrollados.
6. El grado de cada término es igual al grado del binomio.
7. Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales
8. Cada término del binomio se considera con coeficiente y signo.
Matemáticamente el binomio de Newton es el siguiente:
El
triángulo de Pascal o Tartaglia
El triángulo de Pascal es un triángulo de números
enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las
filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la
suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del
triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados
por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es
infinito.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
Diagramas de árbol
Una forma
sumamente eficaz de
entender gran parte
de los problemas combinatorios consiste
en trazar un
mapa de todas
las posibilidades que
hay para acomodar los objetos planteados.
El diagrama de árbol se construye
generalmente de izquierda a derecha. El número de ramas en cada punto es el
número de resultados posibles del experimento.
En un diagrama de árbol como el
de la figura que se te muestra, las líneas que unen los puntos de diagrama se
denominan aristas y esos puntos, nodos. Además de tener una raíz, que es el nodo
adonde no llega ninguna arista; un árbol tiene la propiedad de que ningún
camino que parta de la raíz puede visitar dos veces el mismo nodo
Los elementos de diagrama de
árbol
Ejemplos
Elabora un diagrama de árbol del siguiente problema.
Noemí tiene tres
lugares a donde
ir de vacaciones,
Los Cabos, Tijuana o Cd. Obregón ya sea en autobús o en avión, lo que
ella escogería
Determina
cuantos números de
dos cifras distintos
se pueden formar con
los enteros 1,
2,3 y 4
usando un diagrama de árbol.
Ejercicios
Construye diagrama
de árbol, para
los problemas que a
continuación se te proporcionan.
1) Los alumnos de quinto semestre
van a realizar lanzamientos al aire de dados y monedas:
a) Al lanzar al aire una
moneda. b) Al lanzar al aire dos
monedas.
c) Al lanzar al aire tres
monedas. d) Al lanzar al aire un dado.
e) Al lanzar al aire dos dados.
2) ¿Cuántos resultados se pueden
obtener al lanzar tres monedas al aire?
¿Y cuáles son?
3) ¿Cuántos resultados se pueden
obtener al lanzar dos dados al aire?
¿Y cuáles son?
________________________________________________________________
4) ¿Cuántos
resultados se pueden obtener
al lanzar dos
monedas al aire? ¿y
cuáles son?
5) ¿Cuántos resultados se pueden
obtener al lanzar una moneda y un dado al aire? y ¿cuáles son? Utiliza el diagrama de árbol.
6) ¿Cuántos números de dos cifras
se pueden formar con los números 2, 3, y 4. Sin repetir los números usando el
diagrama de árbol?
7). Determina cuantos números de
dos cifras distintos que puedan formarse con los enteros 1, 2,3 y 5 usando un
diagrama de árbol
8). Construye el diagrama de
árbol para el procedimiento de elegir una pareja (una muchacha y un muchacho)
de un grupo de tres muchachas y dos muchachos)
Fuentes:
Antología de Matemáticas V para el sistema abierto,
DGETA, SEMS SEP
Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística cecytes
ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta
edición serie Schaum
Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos
Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen
Introducción a la probabilidad y estadística 13a.
EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
Resuelto porfa
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