TÉCNICAS DE
CONTEO: Para determinar sin
describir directamente el número de resultados posibles de un
experimento en particular o el número de elementos de un conjunto en especial,
se requieren algunos principios básicos que faciliten el proceso, destacando:
El principio
de la suma
y la multiplicación, el
diagrama de árbol,
la notación factorial,
las permutaciones, las combinaciones.
PRINCIPIO DE LA SUMA:
Supongamos que un suceso E1
puede ocurrir de “m” maneras y el segundo suceso E2 puede ocurrir
de “n” maneras,
y supongamos que
ambos sucesos no
pueden ocurrir simultáneamente.
Entonces E1 o E2 puede ocurrir de (m + n) maneras.
Este principio se puede extender
a tres o más sucesos.
Recordando el
lema de teoría
de conjuntos que
dice. Supónganos que
A y B
son conjuntos distintos. Entonces n(A B) = n(A) + n(B), este también es
principio de las suma.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN:
Supongamos que un suceso E1
puede ocurrir de “m” maneras y el segundo suceso E2 puede ocurrir de
“n” maneras, (sucesos independientes). Entonces las combinaciones de E1 y de E2 pueden ocurrir de (m) (n) maneras.
Este principio se puede extender
a tres o más sucesos.
Recordando el teorema de teoría
de conjuntos. Supónganos que A y B son conjuntos finitos.
Entonces n(A B) = n(A) n(B),
este también es principio de la multiplicación.
EJEMPLO 1
En la Universidad de Sonora
te ofrecen tres cursos diferentes de
matemáticas, cuatro diferentes de física y dos diferentes de administración.
Determina:
a) ¿Cuántas opciones puedes
escoger uno de los cursos?
b) ¿De cuántas maneras distintas
puedes escoger un curso de cada materia?
Solución:
a) n = 3 + 4 + 2 = 9 (son 9
maneras)
b) n = (3)(4)(2) = 24 (son 24
maneras)
Ejercicios
1. La compañía aérea Mexicana
tiene tres vuelos diarios entre México y
Quintana Roo, y la compañía Aeroméxico tiene dos vuelos diarios entre México y
Quintana Roo. Calcula:
a) ¿Cuántas formas distintas de
volar de México a Quintana Roo?
b) ¿Cuántas
formas distintas de
volar con Mexicana
de México a
Quintana Roo y con
Aeroméxico de México a Quintana Roo?
c) ¿Cuántas formas distintas de
volar de México a Quintana Roo y volver?
2. En
la estantería de
una librería hay
seis libros de
matemáticas diferentes, tres
de física diferentes, cuatro de
química y cinco de informática. Halla el número de posibilidades que tiene un
estudiante de elegir:
a) Uno de los libros
b) Uno de cada tipo
3. Un restaurante tiene un menú
con tres aperitivos, cuatro platillos diferentes y dos postres.
Hallar el número de formas
diferentes que tiene un cliente para pedir un aperitivo y un postre.
4. Un grupo de quinto semestre
que tiene siete alumnos y cinco alumnas donde se formará un comité para la
graduación. Halla las formas distintas de obtener:
a) Un delegado
b) Dos delegados (un hombre y una
mujer)
c) Un Presidente y un
Vicepresidente
5. Cecy sale de viaje por quince
días, pero en el trayecto extravía su maleta. Ella no cuenta con el dinero
suficiente para comprarse
quince cambios de
ropa diferentes; por
lo que decide adquirir lo siguiente. Cinco blusas,
tres pantalones dos tipos de calzados.
¿Cuántos cambios distintos puede
formar con esa compra?
6. En una reunión se encuentran diez personas.
Si cada una de ellas saluda de mano a los
demás, ¿cuántos saludos hubo en total?
7. ¿De cuántas formas diferentes
se pueden acomodar tres trofeos diferentes en un estante de tres niveles?
Permutación y combinación
Son distintas
formas en que se pueden
ordenar los n elementos de un conjunto, donde el orden de
los elementos sí importa.
Existen dos tipos de
permutaciones:
1) Permutación lineal
Son los acomodos de n objetos en
fila
2) Permutación circular.
Son los acomodos de n objetos en
torno a un círculo.
El número de permutaciones
simples de n elementos distintos se representa con la notación
El número de permutaciones
lineales de n elementos diferentes tomados en un grupo de r en r se obtiene con
la fórmula
La formula de permutaciones de n
elementos, no todos diferentes entre si
La fórmula de permutación
circular es PC = (n-1)!
COMBINACIONES:
Son distintas formas en que se pueden ordenar los n
elementos de un conjunto, donde el orden de los elementos no importa.
El número de
combinaciones de n
elementos tomados de
r en r
se expresa ncr, otras notaciones que se usan son
Para resolver permutaciones primero vamos a ver el número
factorial
2) ¿Cuántas
palabras de cinco
letras se pueden
forman con las letras de la palabra grupo sin repetir letras?
Solución: contamos con cinco
letras diferentes y queremos formar palabras de cinco por lo tanto tenemos 5
letras para el primer lugar de las palabras, 4 para el segundo lugar, 3 para el
tercer, 2 para el cuarto y 1 para el quinto.
3) Cuántos números pueden
formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 sin
repetir ningún digito y repitiendo
Solución. (Sin repetir números)
4x3x2x1= 4! y 4!=24 también es
4P4=24
Solución: (Con repetir números)
4x4x4x4= 256
4) En una empresa siete
ejecutivos asisten a una junta donde hay siete sillas. ¿Cuántas formas
diferentes se pueden ocupar las sillas.
5) ¿Cuántas palabras de 6 letras
se pueden forman con las letras de la palabra
México sin repetir letras?
6) Cuántos números se pueden
formar con los dígitos 2, 4, 6, 8, y 9 sin repetir ningún digito.
7) De cuánto formas diferentes
puedes acomodar 7 libros diferentes en un estante de
Librero.
8) Cuántos números se pueden
formar con los dígitos 2, 4, 6, 8, y 9 con repetición de digito.
Ejercicios
1) ¿De cuántas maneras distintas
se pueden ordenar 7 personas en una fila de 4 asientos?
2) ¿Cuántas palabras de 4 letras
se pueden forman con las letras de la palabra
Maestro?
3) ¿Cuántas palabras de 3 letras
se pueden forman con las letras de la palabra Saeva?
4) ¿Cuántas palabras de 5 letras
se pueden forman con las letras de la palabra
cbtas sin repetir letras?
5) ¿Cuántas números de siete
cifras se pueden formar utilizando los números del 1, 233,421?
5) ¿Cuántas
palabras de 11
letras se pueden
forman con las
letras de la
palabra Estadística?
Operaciones con permutaciones
circulares (cíclicas)
1) Calcula de cuántas formas se
pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda.
Solución: Utilizando la
fórmula de permutaciones circulares.
PC= Pc = (n-1)! Es decir P8 =
(8-1)!=7!
7!= 7x6x5x4x3x2x1=5040
2) Calcula
de cuántas formas
se pueden acomodar
5 personas alrededor de una fogata.
Solución: Sustituyendo P5 =
(5-1)! =4!
4!=4x3x2x1= 24
Ejercicios
1) Calcula de cuántas formas se pueden sentar 6 personas
alrededor de una mesa redonda.
2) Calcula de cuántas formas se pueden acomodar 10 personas
alrededor de una fogata.
3) determina el valor 7C4.
4) ¿Cuántos equipos de 3 alumnos se pueden de formar de 7
alumnos, para un torneo?
5) En una maquiladora
se presentaron a solicitar trabajo 9 hombres y 5 mujeres. ¿De cuantas
formas el jefe
de personal puede
hacer la selección
si únicamente puede
contratar a 6 hombres y 3 mujeres?
Fuentes:
Antología de Matemáticas V para el sistema abierto,
DGETA, SEMS SEP
Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística cecytes
ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta
edición serie Schaum
Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos
Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen
Introducción a la probabilidad y estadística 13a.
EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
lk
ResponderEliminar