La mediana no es más que uno de muchos fractiles; éstos dividen los datos en dos o más partes, tan iguales “como sea posible”. Entre ellos también encontramos los cuartiles, deciles y percentiles, que pretenden dividir los datos en cuatro, diez, y cien partes. Hasta hace poco, los fractiles se manejaban principalmente para distribuciones de conjuntos numerosos de datos.
El cuartil se utiliza a fin de conocer los intervalos dentro de los cuales quedan representados proporcionalmente los términos de una distribución, para esto, se divide la distribución de frecuencias en 4 partes iguales, cada una contiene IGUAL NÚMERO DE OBSERVACIONES (el 25% del total). Los puntos de separación de los valores de X se llaman CUARTILES.
· El primer cuartil corresponde al 25% y se designa con Q1.
· El segundo cuartil se designa con Q2 que representa el valor de 50% y coincide con la mediana.
· El tercer cuartil es Q3 representa el 75% de las observaciones.
El primer Decil corresponde al 10% y se designa con D1.
El sexto Decil se designa D6 que representa el valor de 60% y asi sucesivamente hasta el decil 9
Los percentiles les corresponde la centesima parte de los datos:
El primer Percentil corresponde al 1% y se designa con P1.
El quinceavo percentil corresponde al 15% y se designa con P15. y asi sucesivamente hasta el Percentil 99 o P99
La notación de los cuartíles es: Q
La notación de los deciles es: D
La notación de los percentiles es: P
Las tres son medidas asociadas a la mediana, que nos proporcionan un valor en torno al cual se distribuyen las observaciones. Dividiendo un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
En estadística descriptiva, las medidas de posición no central permiten conocer otros puntos característicos de la distribución.
Sabemos que la mediana divide la distribución en dos partes iguales:
CUARTILES
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q1, Q2, Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana
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Cálculo de cuartiles, deciles y percentiles.
La posición de un decil K es: K (n )/10
La posición de un percentil K es: K (n )/100
K tomará los valores correspondientes. Por ejemplo, si se busca el decil 7, entonces K = 7; si se busca el percentil 25, entonces K = 25.
Una vez que se tienen las posiciones respectivas, se procede a calcular el valor que ocupa tal posición.
Si se busca el cuartil 2, entonces K = 2; y tenemos K (n )/4 = 2 (n )/4 = (n )/2.
Ejemplo. Resolver los casos siguientes.
1. Para la serie 5, 10, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 50, 52, 57, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 85, 86, 95, 100, 120, 130, 143, 150. Calcular el cuartil 3, el decil 7 y el percentil 90.
2. Para la serie aritmética: 4, 7, 10, 13...103, 106, 109. Calcular el cuartil 1 y el decil 8.
Ð Solución.
ΠSe tienen 25 datos.
El cuartil 3 ocupa la posición: K (n )/4 = 3 (25 )/4 = 75/4 = 18.75
Tomemos las posicione 18 y 19. Estas son: 85 y 86. Como 18.75 , significa que esta posición está entre de 85 y86.
se interpola y la posición es 85 + (86 - 85)* 0.75 = 85.75. El cuartil 3 es 85.75.
El decil 7 ocupa la posición: K (n )/10 = 7(25 )/10 = 175/10 = 17.5
Tomemos las posicione 17 y 18. Estas son: 80 y 85. Por lo tanto el decil 7 es la interpolacion de esos valores 80+(85-80)*0.5= 80+2.5= 82.5
El percentil 90 ocupa la posición: K (n )/100 = 90 (25 )/100 = 22.5
Tomemos las posicione 22 y 23. Estas son: 120 y 130. se interpola 120+ (130-120)*0.5= 120+5= 125
@ EJERCICIOS
1. Para cada serie calcular el cuartil 3, el decil 6 y el percentil 75.
a. 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 28, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 36, 41, 41, 44, 45, 47, 49, 50, 60, 65, 70. ___________________ ___________________ ___________________
b. 7, 8, 10, 12, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 28, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 36, 41, 41, 44, 45, 47, 49, 50, 55, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 70, 71, 73. ___________________ ___________________ ___________________
2. Para cada serie aritmética calcular el cuartil 2, el decil 5, el decil 8, el percentil 80 y el percentil 90.
a. 7, 12, 17, 22... 212, 217. ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________
b. –6, -2, 2, 6, 10... 190, 194. ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________
3. Para los primeros 100 términos de la serie f(n) = 5n – 10, calcular la mediana, el cuartil 2, el decil 5, el decil 6, el decil 8, el percentil 60, el percentil 80 y el percentil 85. ___________________ ___________________
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CALCULO DE CUARTILES DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS
DECILES
Los deciles son los nueve valores que dividen una distribución de frecuencias dada en diez partes iguales: D1, D2, D3, ...D10. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, 20%,...y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Etc,...
CALCULO DE CUARTILES DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS
FÓRMULA GENERAL DE LOS CUARTILES:
Donde:
Li = Límite inferior del intervalo que contiene el primer cuartil.
N = Número total de casos.
Nai-1 = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene la mediana.
ni = Número de casos que contiene el intervalo de la mediana.
Ci = Amplitud del intervalo que contiene el primer cuartil.
Ejemplo:
La siguiente distribución recoge las edades de los profesores de una determinada facultad universitaria:
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Ejemplo para hallar el primer cuartil (Q1)
El primer cuartil (Q1) es aquel valor de la variable que alcanza el 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.
Pasos:
1) Dividimos la distribución en 4:( N/4 )
60/4 = 15 ( primer valor que supera el 25% de las observaciones).
2) Aplicamos la fórmula para el cálculo de cuartiles:
Explicación de los símbolos de la fórmula
Li = Límite inferior del intervalo que contiene el primer cuartil.
N = Número total de casos.
Nai-1 = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene la mediana.
ni = Número de casos que contiene el intervalo de la mediana.
Ci = Amplitud del intervalo que contiene el primer cuartil.
Resolvemos el primer cuartil:
Q1= 45 + (15 - 12). 5/14 = 45 + 3. 0,36 = 45 . 1,08 = 46, 08 años
DECILES
Los deciles son los nueve valores que dividen una distribución de frecuencias dada en diez partes iguales: D1, D2, D3, ...D10. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, 20%,...y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Gráficamente
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Su lógica es la misma que la de los cuartiles.
Fórmula de los deciles (ponemos como ejemplo la fórmula para el primer y el segundo decil)
Etc,...
PERCENTILES
El valor de los percentiles está referenciado de 0 a 100. El percentil 0 es el de menor valor de los datos ordenados y el percentil 100 es de mayor valor.
La lógica es igual que la de los cuartiles y los deciles, los percentiles dividen la distribución en 100 partes iguales P1, P2, P3, etc.-
Gráficamente
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Fórmula para los percentiles (tomamos como ejemplo el percentil 20)
VÍDEO DE MEDIDAS DE POSICIÓN
Fuente:
Antología del SAETA de la DGETA
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