MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (Media aritmetica)

Las  medidas  de  tendencia  central,  son  unas  de  las  medidas  numéricas  más importantes. El promedio Aritmético de un conjunto de mediciones es una medida del centro muy útil y común. A menudo se hace referencia a esta medida con el nombre  de  media  aritmética,  o  sencillamente  media,  de  un  conjunto  de mediciones. 

LA MEDIA ARITMÉTICA 

La media aritmética o simplemente media, es el promedio aritmético de un conjunto de observaciones y “se obtiene al sumar todos los datos y dividir dicha suma entre el total de datos”.

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS.

La media aritmética o simplemente media, es el promedio aritmético de un conjunto de observaciones y “se obtiene al sumar todos los datos y dividir dicha suma entre el total de datos

Algebraicamente  se representa como:

Donde:  

 

     

es la media aritmética de la muestra  

X_{1 ,} X₂, X₃, ... X_n son los datos de la muestra y

“n” es el total de los datos de la muestra.

Ejemplo: En la muestra siguiente la media aritmética es

Principales características de la media aritmética:

1. El cálculo de la media aritmética está basado en todos los valores de un conjunto de datos. El valor de cada elemento en los datos afecta el valor de la media.

2. Cuando algunos valores extremos son incluidos en los datos, la media puede llegar a ser menos representativa del conjunto de valores.

3. La media tienen dos propiedades matemáticas importantes que proporcionan un análisis matemático adicional, haciéndola más popular que cualquier otro tipo de promedio.
1. La suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales respecto a la media, es cero.
2. La suma del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media es mínima.

EJEMPLOS

         

EJERCICIOS 

1. Las calificaciones de un estudiante en seis exámenes fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la media aritmética de estas calificaciones.   

2.    Un científico mide diez veces el diámetro de un cilindro y obtiene los valores 3.88, 4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 4.03, 3.92, 3.98 y 4.06 centímetros (cm). Hallar la media aritmética de estas mediciones.

3. De 100 números, 20 fueron 4, 40 fueron 5, 30 fueron 6 y los restantes fueron 7. Encuéntrese la media aritmética de estos números

4. Los pesos medio de cuatro grupos de estudiantes que constan de 15, 20, 10 y 18 individuos son 162, 148, 153 y 140 libras, respectivamente. Encuentre el peso medio de todos los estudiantes

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

Si los datos o valores han sido agrupados en intervalos de clase, entonces se considera que todos los valores incluidos dentro de un determinado intervalo son iguales o están representados por el punto medio del intervalo o la marca de clase. En este caso se procede a multiplicar cada punto medio por su respectiva frecuencia. Luego se suman estos productos, para finalmente dividir este resultado entre el total de datos.

Es importante señalar que el valor de la media de la frecuencia agrupada es suficientemente aproximado para trabajos de estadística y que el valor de la media no será suficientemente aproximado si la distribución de frecuencias agrupadas es muy irregular o demasiado asimétrica.

La fórmula para la media aritmética en datos agrupados es la siguiente

Donde

 f = Frecuencias absolutas de los intervalos.

              X = Marca de clase o punto medio.

               n = La suma de las frecuencias.

CALCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA para datos agrupados

Esta expresión no se puede aplicar directamente, ya que únicamente se cuenta con el dato del denominador, esto es  n = 50, pero no se tiene el dato del numerador. Para ello se agrega una columna a la tabla, donde se proporcionan los datos agrupados en intervalos. Esta columna se construye multiplicando el punto medio de cada intervalo por su respectiva frecuencia y cuando se tengan todos los productos, se procede a obtener la suma de ellos. La tabla original ya con la columna Fx y la suma de ésta queda de la siguiente manera.

I	x	f	f’	F	fx
30.5 – 33.5	32	1	.02	1	32
33.5 – 36.5	35	2	.04	3	70
36.5 – 39.5	38	6	.12	9	228
39.5 – 42.5	41	11	.22	20	451
42.5 – 45.5	44	16	.32	36	704
45.5 – 48.5	47	9	.18	45	423
48.5 – 51.5	50	4	.08	49	200
51.5 – 54.5	53	1	.02	50	53
TOTAL =		50	1 o 100		2161

Entonces: 

_

X  =         2161/50       =  43.22   será el resultado de la media aritmética

MÁS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:

Calcula la media aritmética de los tres ejercicios siguientes.

Intervalos de Clase L.R.I.            L.R.S.	Marca de Clase (x )	Frecuencia Absoluta (f )	(f)(x)
59.5      -     63.5	61.5	6
63.5      -     67.5	65.5	6
67.5      -     71.5	69.5	8
71.5      -     75.5	73.5	11
75.5      -     79.5	77.5	8
79.5      -     83.5	81.5	9
83.5      -     87.5	85.5	2
TOTAL =		50

  vídeo sobre la media aritmetica

6_1750.html

Fuentes:

Antología de Matemáticas V para el sistema abierto, DGETA, SEMS SEP

Módulo de aprendizaje de Probabilidad y estadística  cecytes

ESTADÍSTICA, Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens, Cuarta edición serie Schaum

Estadística básica con aplicaciones en MS Excel, Juan Carlos Vergara Schmalbach Víctor Manuel Quesada Ibargüen

Introducción a la probabilidad y estadística 13a. EDICIÓN, William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver,  Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,